二分法

ryluo 2020-06-19 10:56:58

二分的本质:

一般会认为二分的本质是单调性,也就是说具有单调性的才能进行二分(因为这样在二分的时候才能分成左半边和右半边),但是其实二分的本质是:在区间中可以找到某种性质使得区间的某一边满足,另一边不满足这个性质。

二分模板:

作者:yxc
链接:https://www.acwing.com/blog/content/277/

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用:
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用:
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

整数二分

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/791/

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组,以及 q 个查询。

对于每个查询,返回一个元素k的起始位置和终止位置(位置从0开始计数)。

如果数组中不存在该元素,则返回“-1 -1”。

输入格式

第一行包含整数n和q,表示数组长度和询问个数。

第二行包含n个整数(均在1~10000范围内),表示完整数组。

接下来q行,每行包含一个整数k,表示一个询问元素。

输出格式

共q行,每行包含两个整数,表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素,则返回“-1 -1”。

数据范围

1≤n≤1000001≤n≤100000
1≤q≤100001≤q≤10000
1≤k≤100001≤k≤10000

输入样例:

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例:

3 4
5 5
-1 -1

题解:

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, q;
    int p[100010];

    scanf("%d%d", &n, &q);

    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &p[i]);

    while(q > 0)
    {
        q--;
        int k;
        scanf("%d", &k);

        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (p[mid] >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if(p[l] != k) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << " ";
            l = 0;
            r = n - 1;

            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1>> 1;
                if (p[mid] <= k) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

需要注意的地方:

  1. 当输入数据比较大的时候建议使用scanf
  2. 整数二分的时候一定要想清楚边界,想清楚答案在哪个区间,然后去判断如何更新边界及中点的计算
  3. 注意没有答案的处理情况,二分的时候肯定是存在边界的,但是分出来的边界不一定是答案。

浮点数二分

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/792/

给定一个浮点数n,求它的三次方根。

输入格式

共一行,包含一个浮点数n。

输出格式

共一行,包含一个浮点数,表示问题的解。

注意,结果保留6位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000−10000≤n≤10000

输入样例:

1000.00

输出样例:

10.000000

题解

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double n;
    cin >> n;

    double l = -10000.0, r = 10000.0;
    while(r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }

    printf("%.6f", l);
    return 0;
}

需要注意的地方:

  1. 当输入只有一个数据的时候,直接使用cin是非常方便的

  2. 精度为$10^6$那么while循环就设为比6多2的次方,这样比较保险

  3. 当输出的精度指定时,应该使用printf来确定输出的精度